Matematik, davranışını ve işleyişini anlamak için belirleyici bir rol oynar. elektriksel ve elektronik sistemler . Polinomlar, Cebir, Olasılık, Entegrasyonlar ve Farklılaşmalar vb. Sistemleri çözmek için kullanılan araçların önemli bir bölümünü oluşturur. Sistemlerin artan karmaşıklığı ile çok karmaşık yöntemler gerekmektedir. Diferansiyel denklemler, kontrol sistemlerini tanımlamak için belirgin bir şekilde kullanılır. Bu denklemlerin çözülmesi kolaydır. Ancak yüksek mertebeden diferansiyel denklemleri çözerken karmaşıklık ortaya çıkar. Bu tür karmaşık yüksek mertebeden diferansiyel denklemleri çözmek için, etkili olduğu kanıtlanan matematiksel yöntem Laplace Dönüşümü . Bu dönüşüm yaygın olarak kullanıldığından, gerçekte ne anlama geldiğini ve nasıl çalıştığını bilmek yararlıdır.

Laplace Dönüşümü nedir?

Matematikte, denklemin işlenmesini kolaylaştırmak için bir değişkeni bir formdan diğerine dönüştürmek için dönüşümler uygulanır. Laplace dönüşümleri hemen hemen aynı şeyi yapar. Yüksek mertebeden diferansiyel denklemi, diferansiyel denklemi doğrudan çözmekten çok daha kolay olan polinom bir forma dönüştürürler.

Ama Fourier dönüşümü gibi çeşitli dönüşümler var, z dönüşümü Laplace dönüşümünü özel kılan nedir? Laplace dönüşümünün en büyük avantajı, hem kararlı hem de kararsız sistemler için tanımlanırken, Fourier dönüşümlerinin yalnızca kararlı sistemler için tanımlanmasıdır.

Laplace Dönüşümü Formülü

T'nin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit gerçek sayı olduğu bir zaman alanında f (t) fonksiyonunun bir Laplace dönüşümü F (s) olarak verilir, burada s, frekans alanındaki karmaşık sayıdır. yani. s = σ + jω
Yukarıdaki denklem şu şekilde kabul edilir tek taraflı Laplace dönüşüm denklemi . Sınırlar tüm gerçek eksene genişletildiğinde, İkili Laplace dönüşümü olarak tanımlanabilir
Gibi pratik devrelerde RC ve RL devreleri genellikle başlangıç koşulları kullanılır, bu nedenle analiz amaçlı tek taraflı Laplace dönüşümleri uygulanır.
S = σ + jω gibi, σ = 0 olduğunda Laplace dönüşümleri Fourier dönüşümü gibi davranır.

“pulldown vs pull up direnci ”

Laplace Dönüşümü Formülleri

Laplace Dönüşümünün Uygulanabilirlik Koşulları

Laplace dönüşümlerine integral dönüşümler denir, bu nedenle bu dönüşümlerin yakınsaması için gerekli koşullar vardır.
yani f [0, ∞) aralığı için yerel olarak integrallenebilir olmalıdır ve σ'nun pozitif veya negatif olmasına bağlı olarak, e ^ (- σt) bozunuyor veya büyüyor olabilir. Tek bir değer yerine iki taraflı Laplace dönüşümleri için, integral Yakınsama Bölgesi olarak bilinen belirli bir değer aralığında yakınsar.

Laplace Dönüşümünün Özellikleri:

Doğrusallık

Zaman Değişimi

“seramik kapasitörler nasıl okunur ”

S-alanında kayma

Zamanın tersine çevrilmesi

S-alanında farklılaşma

Zamanda Evrişim

Başlangıç Değer Teoremi

İlk değer teoremi, Laplace dönüşümünde pay derecesi paydanın derecesinden daha az olduğunda uygulanır. Nihai Değer Teoremi:

Tüm sF (s) kutupları S-düzleminin sol yarısında yer alıyorsa, son değer teoremi uygulanır.

Ters Laplace Dönüşümü

Yakınsama karakteristiği nedeniyle Laplace dönüşümü de ters dönüşüme sahiptir. Laplace dönüşümleri, bir işlev uzayından diğerine bire bir eşleştirme sergiler. Ters Laplace dönüşümü formülü şöyledir:

Laplace Dönüşümü Nasıl Hesaplanır?

Laplace dönüşümü denklemlerin işlenmesini kolaylaştırır. Daha yüksek mertebeden bir diferansiyel denklem verildiğinde, ona Laplace dönüşümü uygulanır ve denklemi cebirsel bir denkleme dönüştürür, böylece daha kolay ele alınır. Sonra bu cebirsel denklemi sadeleştirerek kökleri hesaplıyoruz. Şimdi, verilen yüksek dereceden diferansiyel denklemi çözen daha basit ifadenin ters Laplace dönüşümü bulunur.

Laplace Dönüşümü Hesaplaması

Laplace Dönüşümünün Uygulamaları

Elektriksel ve elektronik devreler .
Karmaşık diferansiyel denklemleri daha basit polinom formlarına ayırma.
Laplace dönüşümü sabit ve geçici durumlar hakkında bilgi verir.
Makine öğreniminde, Laplace dönüşümü veri madenciliğinde tahmin yapmak ve analiz yapmak için kullanılır.
Laplace dönüşümü, sistem modellemede hesaplamaları basitleştirir.

Laplace Dönüşümünün Sinyal İşlemede Uygulanması

Laplace dönüşümleri genellikle sinyal işleme için tercih edilir. Fourier dönüşümü ile birlikte, Laplace dönüşümü frekans alanındaki sinyalleri incelemek için kullanılır. Frekans alanındaki sinyalde küçük frekanslar olduğunda, sinyalin zaman alanında düzgün olması beklenebilir. Bir sinyalin filtrelenmesi genellikle, Laplace'ın bir sinyali zaman alanından frekans alanına dönüştürmek için önemli bir araç olarak hareket ettiği frekans alanında yapılır.

Laplace Dönüşümünün Kontrol Sistemlerinde Uygulanması

Kontrol sistemleri genellikle diğer cihazların davranışını kontrol etmek için tasarlanmıştır. Nın bir örneği kontrol sistemleri basit bir ev ısıtma kontrolöründen endüstriyel bir kontrol sistemine kadar değişebilir, makinelerin davranışını düzenler.

Genel olarak, kontrol mühendisleri, çeşitli kapalı döngü fonksiyonel bloklarının davranışını tanımlamak için diferansiyel denklemler kullanır. Laplace dönüşümü burada bu denklemleri önemli değişken bilgileri kaybı olmadan çözmek için kullanılır.

Laplace Dönüşümü Kullanılarak Doğrusal Zamanla Değişmeyen Sistemlerin Karakterizasyonu

Sistemle ilişkili rastgele bir sistem ROC için işlev, sağ yarı düzlemdir. Bir sistem t> 0 için dürtü yanıtı h (t) = 0 ise rahatsızlığa karşıdır.

Sistem fonksiyonlarının ROC'si H (s) jω eksenini içeriyorsa, L.T.I. sistem, kararlı bir sistem olarak adlandırılır. Rasyonel sistem işlevlerine sahip rasgele bir sistem H (s) tüm kutupları için negatif gerçek parçalara sahipse, sistem kararlıdır.

Bu nedenle Laplace dönüşümü, devreleri analiz etmede çok önemli bir araçtır. Bir stetoskop olarak diyebiliriz ki, Laplace dönüşümleri kontrol mühendisi olmaktır. Laplace dönüşümlerini ne olarak düşünüyorsunuz? Size ne şekilde yardımcı oldular?